Trường THCS Liên - Lý
ĐỀ  THI KSCL HSG Môn Toán 9
Năm học 2014 – 2015. Thời gian: 120 Phút
 
Câu 1: ( 4,5 điểm)
             Cho biểu thức:  P =
           a)   Rút gọn biểu thức P
b)    Tính giá trị của P khi x =
c)     Tìm tất cả các giá trị của x để P có giá trị nguyên.
Câu 2: (6 điểm)
a)     Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn:
Chứng minh rằng :  chia hết cho 3
b)    Giải phương trình:
c)     Giải phương trình nghiệm nguyên:
Câu 3: ( 3,5 điểm)
a)     Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: x² + y² + z² = 3.
    Chứng minh rằng:  x+ y + z + xy + yz + zx  6
    b) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.
         Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4:(6,0 điểm)
    Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
(M khác B, C).Tia  AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a)     Chứng minh rằng : ME // BN và ∆OEM vuông cân
b)Từ C kẻ CH  BN ( H  BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
…………………………….. Hết …………………………………………
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                           Hướng dẫn chấm HSG toán 9
                                                 Năm học 2014 - 2015
 

Câu	ý	Đáp án	Điểm
1	a	* ĐKXĐ: x  0 , x	0,5đ
		ta có : P =               =	0,5đ
		=	0,5đ
		=	0,5đ
	b	Với x =  = 1( t/m ĐKXD) thay vào P ta có :	1,0đ
		P =	0,5đ
	c	Với x  0 ta có  P  = Vì   với x  0 và 4>0  Do P có giá trị nguyên P = 1	0,5đ
		Với P = 1 (t/m)	0,5đ
2	a	Từ	0,75đ
		(*)	0,75đ
		Từ (*) dễ thấy khi a, b, c  thì  , đpcm.	0,5đ
	b	ĐKXĐ: x
		Từ  (*)	1,0đ
		Do , nên từ (*) suy ra: Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 2	1,0đ
	c		0,5
			1,0
			0,5
3	a	Ta có : x2 + 1  2x , y2 + 1  2y,  z2 + 1  2z        và x2 + y2 2xy, y2 + z2 2yz, z2 + x2 2zx	0, 75đ
		Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 3(x2 + y2 + z2) + 3  2( x + y + z + xy + yz + zx)  x + y + z + xy + yz + zx  6 vì x2 + y2 + z2 = 3 ( đpcm) + Dấu “ =” xẩy ra khi x = y = z = 1	0,5đ 0,25đ
	b	Từ giả thiết chứng minh được	0,25
		Do a, b, c Î(0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c),	0,25
		Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có :	0,75đ
		Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có:   vì	0,25
		Theo CMT	0,25
		Dấu bằng xảy ra khi Vậy	0,25
4		Hình vẽ
	a	Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông  AB = CD và AB // CD  + AB // CD   AB // CN   ( Theo ĐL Ta- lét) (*) Mà  BE = CM (gt) và AB = CD  AE = BM thay vào (*) Ta có :  ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)	0,25đ 0,5đ   0,25đ 0,5đ
		HS cm được ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	0,75 đ
		OE = OM  và Lại có  vì tứ giác ABCD là hình vuông  kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O	0,25đ   0,5đ
	b	Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN  ( cặp góc so le trong) Mà  vì ∆OEM vuông cân tại O	0,25đ   0,25đ
		∆OMC  ∆BMH’ (g.g)	0,25đ
		,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)	0,25đ
		∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c)	0,25đ
		Vậy   mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)	0,25đ 0,5đ

 Lưu ý : - HS làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó
                  - Vẽ hình sai không chấm điểm câu hình